Im Alter von fünf Jahren machte der am 26. Mai 1990 geborene Dominick Drexler in seiner Heimatstadt Bonn beim 1. SF Brüser Berg die ersten Schritte als Fußballer, ehe er als 16-Jähriger in den Nachwuchs des Bonner SC wechselte. Von dort zog es den talentierten Offensivmann zunächst weiter zu Alemannia Aachen und später ins Nachwuchsleistungszentrum von Bayer Leverkusen. Für die Werkself lief er in der A-Junioren-Bundesliga West auf und erzielte in zwei Jahren in 46 Spielen satte 26 Tore. Als Anerkennung für seine starken Auftritte durfte das Talent im Training unter Jupp Heynckes erste Luft bei den Lizenzspielern schnuppen.

Um seinem Ziel, dem Profifußball, ein Stück näher zu kommen, wechselte Drexler im Alter von 20 Jahren in die 3. Liga zu Rot-Weiß Erfurt. Über die Stationen SpVgg Greuther Fürth und VfR Aalen landete der Rechtsfuß schließlich 2016 bei Holstein Kiel. Mit den Störchen gelang ihm in der Saison 2016/2017 der Aufstieg in die Zweite Liga, in der er dank starker Leistungen die Aufmerksamkeit mehrerer Clubs auf sich ziehen konnte. Den Zuschlag bekam im Sommer 2018 schließlich der dänische Meister FC Midtjylland, den der Mittelfeldakteur allerdings bereits nach wenigen Wochen wieder verließ und beim 1. FC Köln unterschrieb.

In seiner ersten Saison beim FC hatte Drexler mit neun Toren und 18 Vorlagen maßgeblichen Anteil am Bundesliga-Aufstieg der Geißböcke. Kurz vor dem Start der Spielzeit 2021/2022 wechselte er zum FC Schalke 04.