Rodrigo Zalazar kam am 12. August 1999 in Albacete zur Welt. In der spanischen Stadt hatte sein Vater kurz zuvor seine aktive Laufbahn beendet. Denn: Ebenso wie Schalkes Nummer 10 war auch José Luis Zalazar Fußballprofi. Der Mittelfeldspieler nahm mit Uruguay im Jahr 1986 sogar an der Weltmeisterschaft teil.

Dementsprechend ist Rodrigo Zalazar die Begeisterung für das runde Leder schon in jungen Jahren vermittelt worden. Der Offensivmann, dessen ein Jahr älterer Bruder Kuki ebenfalls Fußballprofi ist, machte bei Albacete Balompie die ersten Schritte mit dem Ball am Fuß. Im Sommer 2015 wechselte Zalazar in die Nachwuchsakademie des FC Malaga, für den er – mit Ausnahme einer Leihe (CF San Felix U19, Saison 2016/2017) – vier Spielzeiten lang aktiv war

Den nächsten Schritt auf der Karriereleiter vollzog der uruguayische Junioren-Nationalspieler mit seinem Wechsel zu Eintracht Frankfurt. Dort unterschrieb der Mittelfeldmann, der auch die spanische Staatsbürgerschaft besitzt, einen Vierjahresvertrag. Um Spielpraxis zu sammeln, wurde Zalazar aber direkt an den polnischen Erstligisten Korona Kielce verliehen. Es folgte ein Jahr auf Leihbasis beim FC St. Pauli, für den er in der Saison 2020/2021 in sämtlichen Zweitligaspielen zum Einsatz kam und mit starken Leistungen Woche für Woche überzeugen konnte. Kurz nach seiner Rückkehr an den Main verständigten sich Spieler sowie Schalke und die Eintracht Anfang August 2021 auf einen Wechsel ins Revier.